ทฤษฏีฟังก์ชั่น exponential และ logarithm
อ่าน สรุปสูตรคณิตศาสตร์ พื้นฐาน ม.ปลาย PDF ด้วยจะดีมากเลย
Exponent คืออะไร?
2 ด้วยเลขยกกำลัง 3
เลขชี้กำลังของตัวเลขกล่าวว่ากี่ครั้ง
เพื่อใช้ตัวเลขในการคูณ
ในตัวอย่างนี้: 23 = 2 × 2 × 2 = 8
(2 ใช้ 3 ครั้งในการคูณเพื่อให้ได้ 8)
Logarithm คืออะไร?
Logarithm ไปในทางอื่น
มันถามคำถาม "สิ่งที่เลขยกกำลังผลิตนี้หรือไม่":
คำถามลอการิทึม
และคำตอบเช่นนี้:
เลขชี้กำลังเพื่อลอการิทึม
ในตัวอย่างที่:
Exponent ใช้เวลา 2 และ 3 และให้ 8 (2, ใช้ 3 ครั้งในการคูณทำให้ 8)
Logarithm ใช้เวลา 2 และ 8 และให้ 3 (2 เป็น 8 เมื่อใช้ 3 ครั้งในการคูณ)
Logarithm กล่าวว่ามีกี่หมายเลขที่จะคูณเพื่อให้ได้หมายเลขอื่น
ดังนั้นลอการิทึมที่จริงให้เลขชี้กำลังเป็นคำตอบ:
แนวคิดลอการิทึม
(ดูว่า Exponents, Roots และ Logarithms เกี่ยวข้องกันอย่างไร)
การทำงานร่วมกัน
Exponents และ Logarithms ทำงานร่วมกันได้ดีเพราะ "Undo" กัน (ตราบใดที่ฐาน "a" เหมือนกัน):
เลขชี้กำลัง vs ลอการิทึม
พวกเขาเป็น "Inverse Functions"
ทำอย่างใดอย่างหนึ่งแล้วคนอื่น ๆ จะทำให้คุณกลับไปยังตำแหน่งที่คุณเริ่มต้น:
การทำขวานแล้ว loga จะให้ x กลับมาอีกครั้ง: เข้าสู่ a (a x x)
ทำ loga แล้วขวานให้ x กลับมาอีกครั้ง: a ^ (log a (x))
มันแย่มากที่เขียนแตกต่างกัน ... มันทำให้ทุกอย่างดูแปลก ดังนั้นมันอาจช่วยให้คิดว่าขวานเป็น "ขึ้น" และ loga (x) เป็น "ลง":
ไปขึ้นแล้วลงส่งกลับคุณกลับมาอีกครั้ง: ลง (ขึ้น (x)) = x
ไปลงแล้วขึ้นส่งกลับคุณกลับมาอีกครั้ง: ขึ้น (ลง (x)) = x
อย่างไรก็ตามสิ่งที่สำคัญคือ:
ฟังก์ชันลอการิทึมถูก "เลิกทำ" โดยฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
(และในทางกลับกัน)
เช่นเดียวกับในตัวอย่างนี้:
ตัวอย่าง x คืออะไรใน log3 (x) = 5
เริ่มต้นด้วย: log3 (x) = 5
เราต้องการ "ยกเลิก" log3 เพื่อให้เราได้ "x ="
ใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ทั้งสองด้าน): 3 ^ (log3 (x)) = 3 ^ 5
และเรารู้ว่า 3 ^ (log3 (x)) = x, ดังนั้น: x = 35
คำตอบ: x = 243
และนอกจากนี้ยังมี:
ตัวอย่าง: คำนวณ y ใน y = log4 (1/4)
เริ่มต้นด้วย: y = log4 (1/4)
ใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งสองด้าน: 4 ^ y = 4 ^ (log4 (1/4))
ลดความซับซ้อน: 4y = 1/4
ตอนนี้เป็นเคล็ดลับง่ายๆ: 1/4 = 4-1
ดังนั้น: 4y = 4-1
และอื่น ๆ : y = -1
คุณสมบัติของ Logarithms
หนึ่งในสิ่งที่มีประสิทธิภาพเกี่ยวกับ Logarithms ก็คือพวกเขาสามารถเปลี่ยนไปคูณเพิ่ม
loga (m × n) = logam + logan
"บันทึกของการคูณคือผลรวมของบันทึก"
ทำไมถึงเป็นจริง? ดูเชิงอรรถ
การใช้คุณสมบัตินี้และกฏหมายของคำสั่งเราจะได้รับสมบัติที่เป็นประโยชน์เหล่านี้:
loga (m × n) = logam + logan บันทึกการคูณคือผลรวมของบันทึก
loga (m / n) = logam - logan บันทึกการแบ่งเป็นความแตกต่างของบันทึก
loga (1 / n) = -logan นี้เพียงต่อไปนี้จากกฎ "หมวด" ก่อนหน้านี้เนื่องจาก loga (1) = 0
loga (mr) = r (logam) log ของ m ด้วยเลขยกกำลัง r คือ r เท่า log ของ m
จำไว้ว่าฐาน "a" จะเหมือนกันเสมอ!
หนังสือ logarithms ประวัติศาสตร์: Logarithms มีประโยชน์มากก่อนที่เครื่องคิดเลขได้คิดค้น ... ตัวอย่างเช่นแทนการคูณสองจำนวนมากโดยใช้ logarithms คุณสามารถเปลี่ยนเป็นนอกจาก (ง่ายมาก!)
และมีหนังสือที่เต็มไปด้วยตาราง Logarithm เพื่อช่วย
ให้เรามีความสนุกสนานโดยใช้คุณสมบัติ:
ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของ loga ((x2 + 1) 4√x)
เริ่มต้นด้วย: loga ((x2 + 1) 4√x)
ใช้ loga (mn) = logam + logan: loga ((x2 + 1) 4) + loga (√x)
ใช้ loga (mr) = r (logam): 4 loga (x2 + 1) + loga (√x)
ยัง√x = x½: 4 loga (x2 + 1) + loga (x½)
ใช้ loga (mr) = r (logam) อีกครั้ง: 4 loga (x2 + 1) + ½ loga (x)
นั่นคือเท่าที่เราสามารถทำให้ง่ายขึ้น ... เราไม่สามารถทำอะไรกับ loga (x2 + 1)
คำตอบ: 4 loga (x2 + 1) + ½ loga (x)
หมายเหตุ: ไม่มีกฎสำหรับการจัดการ loga (m + n) หรือ loga (m-n)
นอกจากนี้เรายังสามารถใช้กฎลอการิทึม "ย้อนหลัง" เพื่อรวม logarithms:
ตัวอย่าง: เปลี่ยนเป็นลอการิทึมหนึ่ง: loga (5) + loga (x) - loga (2)
เริ่มต้นด้วย: loga (5) + loga (x) - loga (2)
ใช้ loga (mn) = logam + logan: loga (5x) - loga (2)
ใช้ loga (m / n) = logam - logan: loga (5x / 2)
คำตอบ: loga (5x / 2)
ลอการิทึมธรรมชาติและฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติ
เมื่อฐานเป็น e ("Euler's Number" = 2.718281828459 ... ) เราจะได้รับ:
ลอการิทึมธรรมชาติ loge (x) ซึ่งเขียนโดยทั่วไป ln (x)
ฟังก์ชัน Exponential ตามธรรมชาติเช่น
และความคิดเช่นเดียวกันว่า "เลิกทำ" คนอื่น ๆ ก็ยังคงเป็นความจริง:
ln (ex) = x
e (ln x) = x
และนี่คือกราฟของพวกเขา:
ลอการิทึมธรรมชาติ
ฟังก์ชั่น Exponential ตามธรรมชาติ
ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติ
กราฟของ f (x) = ln (x)
กราฟของ f (x) = ex
ผ่าน (1,0) และ (e, 1)
(0,1) และ (1, e)
ln (x) กับ e ^ x
เป็นเส้นโค้งเดียวกันกับแกน x และแกน y- พลิก
ซึ่งเป็นอีกสิ่งหนึ่งที่แสดงให้คุณเห็นว่าเป็นฟังก์ชันที่ตรงกันข้าม
เครื่องคิดเลข ln
เครื่องคิดเลข Logarithm ธรรมชาติคือปุ่ม "ln"
พยายามใช้ Logarithms ตามธรรมชาติและฟังก์ชัน Exponential ตามธรรมชาติเมื่อทำได้
Logarithm ทั่วไป
เมื่อฐานเป็น 10 คุณจะได้รับ:
logarithm log10 (x) ซึ่งบางครั้งเขียนโดย log (x)
วิศวกรชอบที่จะใช้มัน แต่มันไม่ได้ใช้มากในทางคณิตศาสตร์
ปุ่มบันทึกเครื่องคิดเลข
เครื่องคิดเลข Logarithm ทั่วไปคือปุ่ม "log"
เป็นประโยชน์เพราะมันบอกคุณว่า "ใหญ่" ตัวเลขอยู่ใน decim
2 ด้วยเลขยกกำลัง 3
เลขชี้กำลังของตัวเลขกล่าวว่ากี่ครั้ง
เพื่อใช้ตัวเลขในการคูณ
ในตัวอย่างนี้: 23 = 2 × 2 × 2 = 8
(2 ใช้ 3 ครั้งในการคูณเพื่อให้ได้ 8)
Logarithm คืออะไร?
Logarithm ไปในทางอื่น
มันถามคำถาม "สิ่งที่เลขยกกำลังผลิตนี้หรือไม่":
คำถามลอการิทึม
และคำตอบเช่นนี้:
เลขชี้กำลังเพื่อลอการิทึม
ในตัวอย่างที่:
Exponent ใช้เวลา 2 และ 3 และให้ 8 (2, ใช้ 3 ครั้งในการคูณทำให้ 8)
Logarithm ใช้เวลา 2 และ 8 และให้ 3 (2 เป็น 8 เมื่อใช้ 3 ครั้งในการคูณ)
Logarithm กล่าวว่ามีกี่หมายเลขที่จะคูณเพื่อให้ได้หมายเลขอื่น
ดังนั้นลอการิทึมที่จริงให้เลขชี้กำลังเป็นคำตอบ:
แนวคิดลอการิทึม
(ดูว่า Exponents, Roots และ Logarithms เกี่ยวข้องกันอย่างไร)
การทำงานร่วมกัน
Exponents และ Logarithms ทำงานร่วมกันได้ดีเพราะ "Undo" กัน (ตราบใดที่ฐาน "a" เหมือนกัน):
เลขชี้กำลัง vs ลอการิทึม
พวกเขาเป็น "Inverse Functions"
ทำอย่างใดอย่างหนึ่งแล้วคนอื่น ๆ จะทำให้คุณกลับไปยังตำแหน่งที่คุณเริ่มต้น:
การทำขวานแล้ว loga จะให้ x กลับมาอีกครั้ง: เข้าสู่ a (a x x)
ทำ loga แล้วขวานให้ x กลับมาอีกครั้ง: a ^ (log a (x))
มันแย่มากที่เขียนแตกต่างกัน ... มันทำให้ทุกอย่างดูแปลก ดังนั้นมันอาจช่วยให้คิดว่าขวานเป็น "ขึ้น" และ loga (x) เป็น "ลง":
ไปขึ้นแล้วลงส่งกลับคุณกลับมาอีกครั้ง: ลง (ขึ้น (x)) = x
ไปลงแล้วขึ้นส่งกลับคุณกลับมาอีกครั้ง: ขึ้น (ลง (x)) = x
อย่างไรก็ตามสิ่งที่สำคัญคือ:
ฟังก์ชันลอการิทึมถูก "เลิกทำ" โดยฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
(และในทางกลับกัน)
เช่นเดียวกับในตัวอย่างนี้:
ตัวอย่าง x คืออะไรใน log3 (x) = 5
เริ่มต้นด้วย: log3 (x) = 5
เราต้องการ "ยกเลิก" log3 เพื่อให้เราได้ "x ="
ใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ทั้งสองด้าน): 3 ^ (log3 (x)) = 3 ^ 5
และเรารู้ว่า 3 ^ (log3 (x)) = x, ดังนั้น: x = 35
คำตอบ: x = 243
และนอกจากนี้ยังมี:
ตัวอย่าง: คำนวณ y ใน y = log4 (1/4)
เริ่มต้นด้วย: y = log4 (1/4)
ใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งสองด้าน: 4 ^ y = 4 ^ (log4 (1/4))
ลดความซับซ้อน: 4y = 1/4
ตอนนี้เป็นเคล็ดลับง่ายๆ: 1/4 = 4-1
ดังนั้น: 4y = 4-1
และอื่น ๆ : y = -1
คุณสมบัติของ Logarithms
หนึ่งในสิ่งที่มีประสิทธิภาพเกี่ยวกับ Logarithms ก็คือพวกเขาสามารถเปลี่ยนไปคูณเพิ่ม
loga (m × n) = logam + logan
"บันทึกของการคูณคือผลรวมของบันทึก"
ทำไมถึงเป็นจริง? ดูเชิงอรรถ
การใช้คุณสมบัตินี้และกฏหมายของคำสั่งเราจะได้รับสมบัติที่เป็นประโยชน์เหล่านี้:
loga (m × n) = logam + logan บันทึกการคูณคือผลรวมของบันทึก
loga (m / n) = logam - logan บันทึกการแบ่งเป็นความแตกต่างของบันทึก
loga (1 / n) = -logan นี้เพียงต่อไปนี้จากกฎ "หมวด" ก่อนหน้านี้เนื่องจาก loga (1) = 0
loga (mr) = r (logam) log ของ m ด้วยเลขยกกำลัง r คือ r เท่า log ของ m
จำไว้ว่าฐาน "a" จะเหมือนกันเสมอ!
หนังสือ logarithms ประวัติศาสตร์: Logarithms มีประโยชน์มากก่อนที่เครื่องคิดเลขได้คิดค้น ... ตัวอย่างเช่นแทนการคูณสองจำนวนมากโดยใช้ logarithms คุณสามารถเปลี่ยนเป็นนอกจาก (ง่ายมาก!)
และมีหนังสือที่เต็มไปด้วยตาราง Logarithm เพื่อช่วย
ให้เรามีความสนุกสนานโดยใช้คุณสมบัติ:
ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของ loga ((x2 + 1) 4√x)
เริ่มต้นด้วย: loga ((x2 + 1) 4√x)
ใช้ loga (mn) = logam + logan: loga ((x2 + 1) 4) + loga (√x)
ใช้ loga (mr) = r (logam): 4 loga (x2 + 1) + loga (√x)
ยัง√x = x½: 4 loga (x2 + 1) + loga (x½)
ใช้ loga (mr) = r (logam) อีกครั้ง: 4 loga (x2 + 1) + ½ loga (x)
นั่นคือเท่าที่เราสามารถทำให้ง่ายขึ้น ... เราไม่สามารถทำอะไรกับ loga (x2 + 1)
คำตอบ: 4 loga (x2 + 1) + ½ loga (x)
หมายเหตุ: ไม่มีกฎสำหรับการจัดการ loga (m + n) หรือ loga (m-n)
นอกจากนี้เรายังสามารถใช้กฎลอการิทึม "ย้อนหลัง" เพื่อรวม logarithms:
ตัวอย่าง: เปลี่ยนเป็นลอการิทึมหนึ่ง: loga (5) + loga (x) - loga (2)
เริ่มต้นด้วย: loga (5) + loga (x) - loga (2)
ใช้ loga (mn) = logam + logan: loga (5x) - loga (2)
ใช้ loga (m / n) = logam - logan: loga (5x / 2)
คำตอบ: loga (5x / 2)
ลอการิทึมธรรมชาติและฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติ
เมื่อฐานเป็น e ("Euler's Number" = 2.718281828459 ... ) เราจะได้รับ:
ลอการิทึมธรรมชาติ loge (x) ซึ่งเขียนโดยทั่วไป ln (x)
ฟังก์ชัน Exponential ตามธรรมชาติเช่น
และความคิดเช่นเดียวกันว่า "เลิกทำ" คนอื่น ๆ ก็ยังคงเป็นความจริง:
ln (ex) = x
e (ln x) = x
และนี่คือกราฟของพวกเขา:
ลอการิทึมธรรมชาติ
ฟังก์ชั่น Exponential ตามธรรมชาติ
ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติ
กราฟของ f (x) = ln (x)
กราฟของ f (x) = ex
ผ่าน (1,0) และ (e, 1)
(0,1) และ (1, e)
ln (x) กับ e ^ x
เป็นเส้นโค้งเดียวกันกับแกน x และแกน y- พลิก
ซึ่งเป็นอีกสิ่งหนึ่งที่แสดงให้คุณเห็นว่าเป็นฟังก์ชันที่ตรงกันข้าม
เครื่องคิดเลข ln
เครื่องคิดเลข Logarithm ธรรมชาติคือปุ่ม "ln"
พยายามใช้ Logarithms ตามธรรมชาติและฟังก์ชัน Exponential ตามธรรมชาติเมื่อทำได้
Logarithm ทั่วไป
เมื่อฐานเป็น 10 คุณจะได้รับ:
logarithm log10 (x) ซึ่งบางครั้งเขียนโดย log (x)
วิศวกรชอบที่จะใช้มัน แต่มันไม่ได้ใช้มากในทางคณิตศาสตร์
ปุ่มบันทึกเครื่องคิดเลข
เครื่องคิดเลข Logarithm ทั่วไปคือปุ่ม "log"
เป็นประโยชน์เพราะมันบอกคุณว่า "ใหญ่" ตัวเลขอยู่ใน decim
ไม่มีความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น