การอินทิเกรต ปฏิยานุพันธ์ PDF เนื้อหาคณิต
อ่านก่อนไปบทนี้ สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
บูรณาการเป็นวิธีการเพิ่มชิ้นเพื่อหาทั้ง
การผสานรวมสามารถใช้เพื่อค้นหาพื้นที่ปริมาตรจุดกลางและสิ่งที่เป็นประโยชน์มากมาย แต่มันเป็นเรื่องง่ายที่สุดที่จะเริ่มต้นด้วยการหาพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งของฟังก์ชันเช่นนี้:
พื้นที่ที่สำคัญ
พื้นที่ภายใต้ y = f (x) คืออะไร?
ชิ้น
เราสามารถคำนวณฟังก์ชันได้ในไม่กี่จุดและเพิ่มชิ้นส่วนของความกว้างΔxเช่นนี้ (แต่คำตอบจะไม่ถูกต้องมาก):
ปริภูมิขนาดใหญ่
เราสามารถทำΔxให้เล็กลงและเพิ่มชิ้นเล็ก ๆ จำนวนมาก (คำตอบเริ่มดีขึ้น):
ปริภูมิขนาดเล็ก
และเมื่อชิ้นส่วนใกล้ศูนย์ความกว้างคำตอบจะเข้าสู่คำตอบที่แท้จริง
ขณะนี้เราเขียน dx หมายถึงชิ้นส่วนΔxกำลังใกล้ศูนย์ในความกว้าง
พื้นที่รวม dx
นั่นเป็นจำนวนมากเพิ่มขึ้น!
แต่เราไม่จำเป็นต้องเพิ่มขึ้นเนื่องจากมี "ทางลัด" เพราะ ...
... หา Integral คือสิ่งที่ตรงกันข้ามในการหา Derivative
(ดังนั้นคุณควรทราบข้อมูลเกี่ยวกับสัญญาซื้อขายล่วงหน้าก่อนอ่านเพิ่มเติม!)
ชอบที่นี่:
ตัวอย่าง: สิ่งที่เป็นส่วนประกอบของ 2x?
อินทิกรัลและอนุพันธ์
เรารู้ว่าอนุพันธ์ของ x2 เป็น 2 เท่า ...
... ดังนั้นหนึ่งของ 2x คือ x2
คุณจะเห็นตัวอย่างเพิ่มเติมในภายหลัง
เอกสาร
สัญลักษณ์สำหรับ "Integral" เป็นสัญลักษณ์ "S"
(สำหรับ "Sum" ความคิดในการบวกชิ้น):
สัญกรณ์ครบถ้วน
หลังจากที่สัญลักษณ์ Integral เราใส่ฟังก์ชันที่เราต้องการหา integral ของ (เรียกว่า Integrand)
แล้วเสร็จด้วย dx หมายถึงชิ้นที่ไปในทิศทาง x (และเข้าใกล้ศูนย์ในความกว้าง)
และนี่คือวิธีที่เราเขียนคำตอบ:
จำนวนเต็มของ 2x dx = x ^ 2 + C
บวก C
เราเขียนคำตอบว่า x2 แต่ทำไม + C?
เป็น "Constant of Integration" มันมีอยู่เพราะทุกฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เป็น 2x:
หลาย integrals vs อนุพันธ์หนึ่ง
อนุพันธ์ของ x2 + 4 คือ 2x และอนุพันธ์ของ x2 + 99 ยังเป็น 2 เท่าและอื่น ๆ ! เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์
ดังนั้นเมื่อเราย้อนกลับการดำเนินงาน (เพื่อหา integral) เรารู้เพียง 2x แต่อาจมีค่าคงที่ใด ๆ
ดังนั้นเราสรุปความคิดโดยการเขียน + C ในตอนท้าย
แตะและถัง
คอนเทนเนอร์ถัง
การรวมกันเป็นเหมือนการเติมถังจากก๊อกน้ำ
อินพุท (ก่อนรวม) คืออัตราการไหลจากก๊อก
การบูรณาการการไหล (เพิ่มขึ้นทุกส่วนเล็กน้อยของน้ำ) จะช่วยให้เรามีปริมาณน้ำในถัง
ลองนึกภาพการไหลเริ่มต้นที่ 0 และค่อยๆเพิ่มขึ้น (บางทีมอเตอร์จะค่อยๆเปิดก๊อกน้ำ)
กราฟแท่งถังแบบรวม
เมื่ออัตราการไหลเพิ่มขึ้นถังจะเติมได้เร็วและเร็วขึ้น
ด้วยอัตราการไหล 2x ถังเติมที่ x2
เราได้รวมการไหลเพื่อให้ได้ปริมาณ
ตัวอย่าง: มีอัตราการไหลเป็นลิตรต่อนาทีและถังเริ่มต้นที่ 0
หลังจาก 3 นาที (x = 3):
อัตราการไหลได้ถึง 2x = 2 × 3 = 6 ลิตร / นาที,
และปริมาตรถึง x2 = 32 = 9 ลิตร
และหลังจาก 4 นาที (x = 4):
อัตราการไหลได้ถึง 2x = 2 × 4 = 8 ลิตร / นาที,
และปริมาตรถึง x2 = 42 = 16 ลิตร
เราสามารถทำกลับเช่นกัน:
กราฟแท่งถังแบบรวม
ลองนึกภาพคุณไม่ทราบอัตราการไหล
คุณรู้ว่าไดรฟ์ข้อมูลเพิ่มขึ้น x2 เท่านั้น
เราสามารถไปในทิศทางย้อนกลับ (ใช้อนุพันธ์ซึ่งทำให้เรามีความลาดชัน) และพบว่าอัตราการไหลเป็น 2 เท่า
ตัวอย่าง:
เมื่อเวลา 2 นาทีปริมาณเพิ่มขึ้นที่ 4 ลิตร / นาที (ความชันของปริมาตรเท่ากับ 4)
ใน 3 นาทีปริมาตรจะเพิ่มขึ้นที่ 6 ลิตร / นาที (ความชัน 6)
ที่เวลา 4 นาทีปริมาตรจะเพิ่มขึ้นที่ 8 ลิตร / นาที (ความลาดชัน 8)
ฯลฯ
อินทิกรัลและอนุพันธ์
ดังนั้น Integral และ Derivative เป็นตรงกันข้าม
เราสามารถเขียนได้ด้วยวิธีนี้:
อัตราการไหลของน้ำ 2 เท่าบอกถึงปริมาณน้ำ:
∫2x dx = x2 + C
และความชันของปริมาตรเพิ่มขึ้น x2 + C ทำให้เรากลับอัตราการไหล:
d / dx (x2 + c) = 2x
กราฟแท่งถังแบบรวม
และเฮ้ยเราได้คำอธิบายที่ดีว่า "C" ค่า ... บางทีถังมีน้ำอยู่แล้ว!
การไหลยังคงเพิ่มปริมาณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
และการเพิ่มขึ้นของปริมาตรสามารถทำให้เรากลับอัตราการไหลได้
ซึ่งสอนให้เราเพิ่ม "+ C" เสมอ
หน้าที่อื่น ๆ
ดีที่เราได้เล่นกับ y = 2x เพียงพอในขณะนี้ดังนั้นเราจะรวมฟังก์ชั่นอื่น ๆ ได้อย่างไร?
ถ้าเราโชคดีพอที่จะหาฟังก์ชันด้านผลของอนุพันธ์แล้ว (รู้ว่าอนุพันธ์และ integrals เป็นตรงกันข้าม) เรามีคำตอบ แต่อย่าลืมเพิ่ม C.
ตัวอย่าง: อะไรคือ∫cos (x) dx?
อินทิเกรทและอนุพันธ์, cos (x) vs sin (x)
จากกฎของอนุพันธ์ตารางเราจะเห็นอนุพันธ์ของบาป (x) คือ cos (x) ดังนั้น:
∫cos (x) dx = sin (x) + C
แต่การทำ "ย้อนกลับ" นี้ได้ดำเนินการไปแล้ว (ดูกฎการรวมระบบ)
ตัวอย่าง: อะไรคือ∫x3 dx?
เกี่ยวกับกฎของการมีส่วนร่วมมี "กฎอำนาจ" ที่ระบุว่า:
∫xn dx = xn + 1n + 1 + C
เราสามารถใช้กฎที่มี n = 3:
∫x3 dx = x44 + C
การรู้ว่าจะใช้กฎเหล่านั้นเป็นกุญแจสำคัญในการมีส่วนร่วมในการบูรณาการอย่างไร
เพื่อรับรู้กฎเหล่านั้นและได้รับการปฏิบัติมาก
เรียนรู้กฎของการรวมและการปฏิบัติ! การปฏิบัติ! การปฏิบัติ!
(มีคำถามด้านล่างนี้ให้คุณเริ่มต้น)
แน่นอนกับ Indefinite Integrals
เราได้ทำ Indefinite Integrals มาแล้ว
ไม่มีความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น