[สูตรคณิตศาสตร์] ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์

1. ประพจน์

         ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ

                                     อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
                    ตัวอย่าง
                     ประโยคที่เป็นประพจน์ 
                                ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์                                  (จริง)
                                จังหวัดลพบุรีไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย    (จริง)
                                5 ≠ 8                                                               (จริง)
                                19 + 4 ≠ 23                                                     (เท็จ)
                                π เป็นจำนวนตรรกยะ                                         (เท็จ)
                    ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ 
ได้แก่ ข้อความที่อยู่ในรูปของ คำถาม คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำอ้อนวอน คำแสดงความปรารถนา สุภาษิตคำพังเพย ประโยคเปิด เพราะข้อความดังกล่าวไม่สามารถบอกค่าความจริงได้
ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ 
                                คำถาม  เช่น  3 หารด้วย 2 มีค่าเท่าไร
                                คำสั่ง  เช่น  จงยืนขึ้น
                                คำขอร้อง  เช่น  ช่วยกันรักษาความสะอาด
                                คำอ้อนวอน  เช่น  โปรดเมตตาด้วยเถิด
                                คำแสดงความปรารถนา  เช่น  อยากเห็นหน้าเธออีกสักครั้ง
                                คำอุทาน  เช่น  โอ้ย
                                สุภาษิตคำพังเพย  เช่น  วัวหายล้อมคอก
                                ประโยคเปิด  เช่น  เขาเป็นนักกีฬา

เครดิต สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสต์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2544). ตรรกศาสตร์เบื้องต้น.  .....................................................................................................................

2. การเชื่อมประพจน์
       ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ

                  1) ตัวเชื่อม และ  ใช้สัญลักษณ์ คือ " ∧ "

                  2) ตัวเชื่อม หรือ  ใช้สัญลักษณ์ คือ  " ∨ "

                  3) ตัวเชื่อม ถ้า... แล้ว...    ใช้สัญลักษณ์ คือ " → "

                  4) ตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ  ใช้สัญลักษณ์ คือ " ↔ "
                  5) ตัวเชื่อม นิเสธ  ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย " ~ "

ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อม

ข้อสังเกต
   1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม และ  " ∧ "  จะเป็น T เมื่อ p และ q เป็น T ทั้งคู่
   2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม หรือ  " ∨ "  จะเป็น F เมื่อ p และ q เป็น F ทั้งคู่
   3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ถ้า... แล้ว... " → "  จะเป็น F เมื่อ p เป็น T และ q เป็น F 
   4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ  " ↔ "  จะเป็น T เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน

.....................................................................................................................

3. การสร้างตารางค่าความจริง
      กำหนด p , q , r เป็นประพจน์ที่ไม่ได้กำหนดค่าความจริงมาให้ จะเรียกประพจน์ที่มีตัวเชื่อมว่า รูปแบบประพจน์ เช่น ~p , p ∧ q , p → q , ( p ∨ q ) ↔ r เป้นต้น
      ในการหาค่าความจริงของรูปแบบประพจน์ จะต้องพิจารณาค่าความจริงที่เป็นไปได้ของประพจน์ย่อยทุกกรณี โดยการสร้างตารางค่าความจริง
                                 จำนวนกรณีที่พิจารณา = 2ⁿ กรณี
               เมื่อ n คือ จำนวนประพจน์ย่อยของรูปแบบประพจน์นั้น

.....................................................................................................................


4. ประพจน์ที่สมมูลกัน
      ประพจน์สองประพจน์ใด จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ≡ แทนคำว่า สมมูล ประพจน์ที่สมมูลกันจะสามารถใช้แทนกันได้ เนื่องจากมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
          การตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ ทำได้ 2 วิธี ดังนี้
 
4.1 ใช้ตารางแสดงค่าความจริง
  ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1. p → q กับ  ~p ∨ q

จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p → q กับ  ~p ∨ q ตรงกันกรณีต่อกรณี
ดังนั้น p → q สมมูลกับ  ~p ∨ q

2. ~p ∧ q กับ p → q

จะเห็นว่า ค่าความจริงของ ~p ∧ q กับ p → q มีบางกรณีต่างกัน
ดังนั้น ~p ∧ q ไม่สมมูลกับ p → q

4.2 ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
     รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่สำคัญ
1. p ∧ ~p ≡ F
2. p ∨ ~p ≡ T
3. p ∧ T ≡ p
4. p ∨ F ≡ p
5. ~(~p) ≡ p
6. p ∨ q ≡ q ∨ p
7. p ∧ q ≡ q ∧ p
8. ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r ) ≡ p ∨ q ∨ r
9. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) ≡ p ∧ q ∧ r 
10. p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
11. p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
12. ~( p ∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q
13. ~( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q
14. p → q ≡ ~q → ~p
15. p → q ≡ ~p ∨ q
16. ~( p → q ) ≡ p ∧ ~q
17. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p )

.....................................................................................................................

5. สัจนิรันดร์
   ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่มี ค่าความจริงเป็นจริงเสมอ ไม่ว่าประพจน์ย่อยจะมีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ ก็ตาม เช่น p ∨ ~p , p → p , ~( p ∧ ~p ) , p ↔ p เป็นต้น
   การตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ทำได้ดังนี้
 1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง
     ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
      1. [ ( p → q ) ∧ p ] → q

จะเห็นว่ารูปแบบของประพจน์  [ ( p → q ) ∧ p ] → q มีค่าจริงเป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น [ ( p → q ) ∧ p ] → q เป็น สัจนิรันดร์

2. ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง
    ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
     1. ( p ∧ q ) → ( q ∨ p )
         วิธีทำ สมมุติว่า ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ

จากแผนภาพ จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p และ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ
แสดงว่าไม่มีกรณีที่ทำให้ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ
ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นสัจนิรันดร์

.....................................................................................................................

6. การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผลจะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วนคือ
1. ส่วนที่เป็น เหตุ หรือ สิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งได้แก่ P1 , P2 , P3 , … , Pn
2. ส่วนที่เป็น ผล ซึ่งได้แก่ Q

ในการอ้างเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผล (valid) หรือไม่สมเหตุสมผล (invalid) ก็ได้ ซึ่งมีวิธีการตรวจสอบ

คือใช้ สัจนิรันดร์ โดยเชื่อมเหตุทุกเหตุด้วยตัวเชื่อม ∧ แล้ว นำเหตุกับผลมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม → ดังนี้

ถ้า รูปแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล

ถ้า รูปแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

     เหตุ 1. p → q

            2.  p

     ผล         q

วิธีทำ ขั้นที่ 1 ใช้ ∧ เชื่อมเหตุเข้าด้วยกัน และใช้ → เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผล

                  จะได้รูปแบบของประพจน์คือ [( p → q ) ∧ p] → q

        ขั้นที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( p → q ) ∧ p] → q เป็นสัจนิรันดร์

ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

.....................................................................................................................

7. ประโยคเปิด

    ประโยคเปิด หมายถึง ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร ประโยคเปิดจะไม่เป็นประพจน์ แต่เมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยคเปิดนั้นจะเป็นประพจน์

    เช่น เขาเป็นนักดนตรี เป็นประโยคเปิด มีคำว่า "เขา" เป็นตัวแปร

           x + 5 < 0 เป็นประโยคเปิด มี x เป็นตัวแปร

           7x-2 ไม่เป็นประโยคเปิด เพราะเมื่อแทนค่า x แล้ว ไม่เป็นประพจน์

    สัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใดๆ  ที่มี x เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย P(x)

.....................................................................................................................

8. ตัวบ่งปริมาณ    

.....................................................................................................................

9. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวแปรเดียว
     ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั่วไปจะมีองค์ประกอบ 3 ส่วน คือ
          1. ส่วนที่้เป็นตัวบ่งปริมาณ
          2. ส่วนที่เป็นประโยคเปิด
          3. ส่วนที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

.....................................................................................................................

10. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว

การหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว มีหลักการดังนี้

          กำหนดให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

          และ P(x,y) แทนประโยคเปิดที่มี x , y เป็นตัวแปร