โหลดข้อสอบพร้อมเฉลย กสพท คณิตศาสตร์
แนะนำให้อ่านอันนี้ไปด้วย สรุปสูตรคณิตศาสตร์ พื้นฐาน ม.ปลาย PDF
พหุนามเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการรวมพลังในตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่าคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ พหุนามในตัวแปรหนึ่ง (เช่นพหุนามเดียว) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ถูกกำหนดโดย
a_nx ^ n + ... + a_2x ^ 2 + + a_1x a_0
(1)
แต่ละตัวมีสัมประสิทธิ์ (ปกติ) รวมเรียกว่า monomials (Becker and Weispfenning 1993, p. 191) ในขณะที่ผลิตภัณฑ์ในรูป x_1 ^ (a_1) ... x_n ^ (a_n) ในกรณี multivariate, (Becker และ Weispfenning 1993, หน้า 188) อย่างไรก็ตามคำว่า "monomial" บางครั้งก็ถูกใช้เพื่อหมายถึงการสรุปพหุนามโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมันและในงานที่มีอายุมากกว่าบางคำจำกัดความของ monomial และ term reversed ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ความระมัดระวังในการพยายามแยกแยะความขัดแย้งเหล่านี้
อำนาจสูงสุดในพหุนามที่ไม่เหมือนกันเรียกว่าลำดับหรือบางครั้งก็องศา
พหุนาม P (x) กับ P (0)! = 0 สามารถแสดงเป็น
P (x) = P (0) product_ (โร) (1-x / โร)
(2)
เมื่อผลิตภัณฑ์ทำงานเหนือราก rho ของ P (rho) = 0 และเข้าใจว่ารากหลาย ๆ จะถูกนับด้วย multiplicity
พหุนามในตัวแปรสองตัวแปร (เช่นพหุนาม bivariate) มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ได้จาก
a_ เมตร (nm) x ^ ny ^ m + ... + a_ (22) x ^ 2y ^ 2 + a_ (21) x ^ 2y + a_ (12) XY ^ 2 + a_ (11) XY + a_ (10) x + a_ (01) Y + a_ (00)
(3)
การรวมกันของสอง polynomials จะได้รับโดยการเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์การแบ่งปันอำนาจเดียวกันของตัวแปร (เช่นเงื่อนไขเดียวกัน)
(a_2x ^ 2 + + a_1x a_0) + (+ b_1x b_0) = a_2x ^ 2 + (a_1 + b_1) x + (+ a_0 b_0)
(4)
และมีคำสั่งน้อยกว่า (ในกรณีที่ยกเลิกเงื่อนไขชั้นนำ) หรือเท่ากับคำสั่งซื้อสูงสุดของพหุนามสองตัวแรก ในทำนองเดียวกันผลิตภัณฑ์ของสอง polynomials จะได้รับโดยการคูณระยะตามระยะเวลาและรวมผลลัพธ์ไว้ด้วย
(a_2x ^ 2 + + a_1x a_0) (b_1x + b_0) = a_2x ^ 2 (b_1x + b_0) + a_1x (b_1x + b_0) + a_0 (b_1x + b_0)
(5)
= a_2b_1x ^ 3 + (+ a_2b_0 a_1b_1) x ^ 2 + (+ a_1b_0 a_0b_1) x + a_0b_0,
(6)
และมีคำสั่งเท่ากับผลรวมของคำสั่งของพหุนามสองตัว
พหุนามเชาวน์
R (z) = (P (z)) / (Q (z))
(7)
ของสองพหุนาม P (z) และ Q (z) เรียกว่าฟังก์ชันที่มีเหตุผล กระบวนการของการดำเนินการแบ่งดังกล่าวเรียกว่าการแบ่งระยะยาวด้วยส่วนสังเคราะห์เป็นวิธีที่ง่ายในการบันทึกส่วน
สำหรับพหุนาม P (x), P (x) - x แบ่ง P (P (x)) - x ซึ่งหมายความว่าพหุนามเชาวน์คือพหุนามที่มีเหตุผลหรือในกรณีของพหุนามจำนวนเต็มพหุนามจำนวนเต็มอื่น (N. Sato, pers. comm,. November 23, 2004).
การแลกเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ไม่เหมือนกันจะทำให้เป็นพหุนาม
a_0x ^ + n a_1x ^ (n-1) + ... + a_ (n-1) x + a_n = 0
(8)
รากของมันคือ reciprocals 1 / x_i ของรากเดิม x_i
กฎของฮอร์เนอร์ให้วิธีการคำนวณที่มีประสิทธิภาพในการสร้างพหุนามจากรายการค่าสัมประสิทธิ์ของมันและสามารถนำมาใช้ในรูปแบบของวุลแฟรมได้ดังนี้
พหุนาม [l_List, x_]: = พับ [x # 1 + # 2 &, 0, l]
ตารางต่อไปนี้ระบุชื่อพิเศษให้กับคำหลายคำที่มีคำสั่งต่ำ
พหุนามชื่อพหุนาม
2 พหุนามสี่เหลี่ยม
พหุนาม 3 ลูกบาศก์
4 quartic
5 quintic
6 sextic
พหุนามสี่องศาสามารถคำนวณโดยใช้สาม multiplications และห้าเพิ่มเติมถ้าปริมาณไม่กี่คำนวณแรก (Press et al. 1989):
a_0 + + a_1x a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 = [(ขวาน + B) ^ 2 + ขวาน + C] [(ขวาน + B) ^ 2 + D] + E,
(9)
ที่ไหน
A = (a_4) ^ (1/4)
(10)
B = (A_3-A ^ 3) / (4A ^ 3)
(11)
D = 3B ^ 2 + 8B ^ 3 + (a_1A-2a_2B) / (A ^ 2)
(12)
C = (A_2) / (A ^ 2) -2B-6B ^ 2-D
(13)
E = a_0-B ^ 4-B ^ 2 (C + D) -CD
(14)
ในทำนองเดียวกันพหุนามของห้าองศาอาจคำนวณด้วยสี่ multiplications และห้าเพิ่มเติมและพหุนามของหกองศาอาจคำนวณด้วยสี่ multiplications และเจ็ดเพิ่มเติม.
พหุนามของคำสั่งหนึ่งถึงสี่สามารถแก้ได้โดยใช้การดำเนินงานที่มีเหตุผลเพียงอย่างเดียวและการสกัดรากที่แน่นอน สมการลำดับที่หนึ่งสามารถแก้ปัญหาได้นิดหน่อย สมการลำดับที่สองสามารถละลายได้โดยใช้สมการกำลังสอง สมการลำดับที่สามสามารถแก้ได้โดยใช้สมการลูกบาศก์ สมการลำดับที่สี่สามารถแก้ได้โดยใช้สมการ quartic ได้รับการพิสูจน์โดย Abel และ Galois โดยใช้ทฤษฎีกลุ่มว่าสมการทั่วไปของลำดับที่ห้าและสูงกว่าไม่สามารถแก้ไขได้อย่างมีเหตุผลด้วยการสกัดรากที่แน่นอน (ทฤษฎีบทที่เป็นไปไม่ได้ของ Abel)
อย่างไรก็ตามการแก้สมการ quintic ทั่วไปอาจได้รับในแง่ของฟังก์ชัน Jacobi theta หรือฟังก์ชัน hypergeometric ในตัวแปรหนึ่ง Hermite และ Kronecker พิสูจน์ว่าชื่อหลายคำสั่งที่สูงกว่าไม่สามารถละลายได้ในลักษณะเดียวกัน Klein แสดงให้เห็นว่าการทำงานของ Hermite ได้โดยนัยในคุณสมบัติกลุ่มของ icosahedron วิธีการ Klein ของการแก้ quintic ในแง่ของฟังก์ชัน hypergeometric ในตัวแปรหนึ่งสามารถขยายไปยัง sextic แต่สำหรับพหุนามคำสั่งที่สูงขึ้นฟังก์ชัน hypergeometric ในหลายตัวแปรหรือ "ฟังก์ชัน Siegel" ต้องใช้ (Belardinelli 1960, King 1996, Chow 1999 ) ในยุค 1880, Poincaréสร้างฟังก์ชันที่ทำให้แก้สมการพหุนาม nth ในรูปแบบ จำกัด ฟังก์ชั่นเหล่านี้กลายเป็น "natur"
a_nx ^ n + ... + a_2x ^ 2 + + a_1x a_0
(1)
แต่ละตัวมีสัมประสิทธิ์ (ปกติ) รวมเรียกว่า monomials (Becker and Weispfenning 1993, p. 191) ในขณะที่ผลิตภัณฑ์ในรูป x_1 ^ (a_1) ... x_n ^ (a_n) ในกรณี multivariate, (Becker และ Weispfenning 1993, หน้า 188) อย่างไรก็ตามคำว่า "monomial" บางครั้งก็ถูกใช้เพื่อหมายถึงการสรุปพหุนามโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมันและในงานที่มีอายุมากกว่าบางคำจำกัดความของ monomial และ term reversed ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ความระมัดระวังในการพยายามแยกแยะความขัดแย้งเหล่านี้
อำนาจสูงสุดในพหุนามที่ไม่เหมือนกันเรียกว่าลำดับหรือบางครั้งก็องศา
พหุนาม P (x) กับ P (0)! = 0 สามารถแสดงเป็น
P (x) = P (0) product_ (โร) (1-x / โร)
(2)
เมื่อผลิตภัณฑ์ทำงานเหนือราก rho ของ P (rho) = 0 และเข้าใจว่ารากหลาย ๆ จะถูกนับด้วย multiplicity
พหุนามในตัวแปรสองตัวแปร (เช่นพหุนาม bivariate) มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ได้จาก
a_ เมตร (nm) x ^ ny ^ m + ... + a_ (22) x ^ 2y ^ 2 + a_ (21) x ^ 2y + a_ (12) XY ^ 2 + a_ (11) XY + a_ (10) x + a_ (01) Y + a_ (00)
(3)
การรวมกันของสอง polynomials จะได้รับโดยการเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์การแบ่งปันอำนาจเดียวกันของตัวแปร (เช่นเงื่อนไขเดียวกัน)
(a_2x ^ 2 + + a_1x a_0) + (+ b_1x b_0) = a_2x ^ 2 + (a_1 + b_1) x + (+ a_0 b_0)
(4)
และมีคำสั่งน้อยกว่า (ในกรณีที่ยกเลิกเงื่อนไขชั้นนำ) หรือเท่ากับคำสั่งซื้อสูงสุดของพหุนามสองตัวแรก ในทำนองเดียวกันผลิตภัณฑ์ของสอง polynomials จะได้รับโดยการคูณระยะตามระยะเวลาและรวมผลลัพธ์ไว้ด้วย
(a_2x ^ 2 + + a_1x a_0) (b_1x + b_0) = a_2x ^ 2 (b_1x + b_0) + a_1x (b_1x + b_0) + a_0 (b_1x + b_0)
(5)
= a_2b_1x ^ 3 + (+ a_2b_0 a_1b_1) x ^ 2 + (+ a_1b_0 a_0b_1) x + a_0b_0,
(6)
และมีคำสั่งเท่ากับผลรวมของคำสั่งของพหุนามสองตัว
พหุนามเชาวน์
R (z) = (P (z)) / (Q (z))
(7)
ของสองพหุนาม P (z) และ Q (z) เรียกว่าฟังก์ชันที่มีเหตุผล กระบวนการของการดำเนินการแบ่งดังกล่าวเรียกว่าการแบ่งระยะยาวด้วยส่วนสังเคราะห์เป็นวิธีที่ง่ายในการบันทึกส่วน
สำหรับพหุนาม P (x), P (x) - x แบ่ง P (P (x)) - x ซึ่งหมายความว่าพหุนามเชาวน์คือพหุนามที่มีเหตุผลหรือในกรณีของพหุนามจำนวนเต็มพหุนามจำนวนเต็มอื่น (N. Sato, pers. comm,. November 23, 2004).
การแลกเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ไม่เหมือนกันจะทำให้เป็นพหุนาม
a_0x ^ + n a_1x ^ (n-1) + ... + a_ (n-1) x + a_n = 0
(8)
รากของมันคือ reciprocals 1 / x_i ของรากเดิม x_i
กฎของฮอร์เนอร์ให้วิธีการคำนวณที่มีประสิทธิภาพในการสร้างพหุนามจากรายการค่าสัมประสิทธิ์ของมันและสามารถนำมาใช้ในรูปแบบของวุลแฟรมได้ดังนี้
พหุนาม [l_List, x_]: = พับ [x # 1 + # 2 &, 0, l]
ตารางต่อไปนี้ระบุชื่อพิเศษให้กับคำหลายคำที่มีคำสั่งต่ำ
พหุนามชื่อพหุนาม
2 พหุนามสี่เหลี่ยม
พหุนาม 3 ลูกบาศก์
4 quartic
5 quintic
6 sextic
พหุนามสี่องศาสามารถคำนวณโดยใช้สาม multiplications และห้าเพิ่มเติมถ้าปริมาณไม่กี่คำนวณแรก (Press et al. 1989):
a_0 + + a_1x a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 = [(ขวาน + B) ^ 2 + ขวาน + C] [(ขวาน + B) ^ 2 + D] + E,
(9)
ที่ไหน
A = (a_4) ^ (1/4)
(10)
B = (A_3-A ^ 3) / (4A ^ 3)
(11)
D = 3B ^ 2 + 8B ^ 3 + (a_1A-2a_2B) / (A ^ 2)
(12)
C = (A_2) / (A ^ 2) -2B-6B ^ 2-D
(13)
E = a_0-B ^ 4-B ^ 2 (C + D) -CD
(14)
ในทำนองเดียวกันพหุนามของห้าองศาอาจคำนวณด้วยสี่ multiplications และห้าเพิ่มเติมและพหุนามของหกองศาอาจคำนวณด้วยสี่ multiplications และเจ็ดเพิ่มเติม.
พหุนามของคำสั่งหนึ่งถึงสี่สามารถแก้ได้โดยใช้การดำเนินงานที่มีเหตุผลเพียงอย่างเดียวและการสกัดรากที่แน่นอน สมการลำดับที่หนึ่งสามารถแก้ปัญหาได้นิดหน่อย สมการลำดับที่สองสามารถละลายได้โดยใช้สมการกำลังสอง สมการลำดับที่สามสามารถแก้ได้โดยใช้สมการลูกบาศก์ สมการลำดับที่สี่สามารถแก้ได้โดยใช้สมการ quartic ได้รับการพิสูจน์โดย Abel และ Galois โดยใช้ทฤษฎีกลุ่มว่าสมการทั่วไปของลำดับที่ห้าและสูงกว่าไม่สามารถแก้ไขได้อย่างมีเหตุผลด้วยการสกัดรากที่แน่นอน (ทฤษฎีบทที่เป็นไปไม่ได้ของ Abel)
อย่างไรก็ตามการแก้สมการ quintic ทั่วไปอาจได้รับในแง่ของฟังก์ชัน Jacobi theta หรือฟังก์ชัน hypergeometric ในตัวแปรหนึ่ง Hermite และ Kronecker พิสูจน์ว่าชื่อหลายคำสั่งที่สูงกว่าไม่สามารถละลายได้ในลักษณะเดียวกัน Klein แสดงให้เห็นว่าการทำงานของ Hermite ได้โดยนัยในคุณสมบัติกลุ่มของ icosahedron วิธีการ Klein ของการแก้ quintic ในแง่ของฟังก์ชัน hypergeometric ในตัวแปรหนึ่งสามารถขยายไปยัง sextic แต่สำหรับพหุนามคำสั่งที่สูงขึ้นฟังก์ชัน hypergeometric ในหลายตัวแปรหรือ "ฟังก์ชัน Siegel" ต้องใช้ (Belardinelli 1960, King 1996, Chow 1999 ) ในยุค 1880, Poincaréสร้างฟังก์ชันที่ทำให้แก้สมการพหุนาม nth ในรูปแบบ จำกัด ฟังก์ชั่นเหล่านี้กลายเป็น "natur"
ไม่มีความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น